Конспект урока по теме
«Решение однородных тригонометрических уравнений, уравнений, сводящихся к однородным» в 10 классе.
Тип урока: комбинированный
Цели урока.
Образовательные:
- обобщение знаний о тригонометрических уравнениях
- формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений
- умение решать все виды тригонометрических уравнений
Развивающие:
- развитие познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с жизнью
- развитие логического мышления, памяти, внимания
- умение делать выводы и обобщения.
Воспитательные:
- формировать интерес к данному предмету, содействовать воспитанию интереса к математике, особенно в условиях информатизации общества, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды
- воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учебе
- формирование умения осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль
Содержание урока.
- Организационный момент.
Учитель:
— Добрый день, ребята!
Сегодня мы продолжаем с вами говорить об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С какими тригонометрическими уравнениями мы работали на предыдущих уроках.
И сегодня вы узнаете еще больше о решении тригонометрических уравнений
- Устная работа.
Учитель:
-Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.
1.Нужно решить простейшие тригонометрические уравнения:
а) sin x=-1 б) cos x=12 в) tg x=-1 г) sin x=-12
д) cos x=-12 е) tg x=4 ж) sin x=-2 з) cos x=3
- Перед вами уравнения, в течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести номер под которым стоит уравнение):
| Простейшее
тригонометрическое |
Замена переменной | Разложение на множители |
1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;
2) sin (π + x)=0;
3) 3tg 2 x + 2tg x — 1=0;
4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0;
5) sin 2х = -1
6) 2sinx – 3cosx = 0
7) cos 3x = 0;
8) cos (х – 4) = 12;
9) sin (х2 + 3)= —12;
10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0;
11) 3 tg 2x + 1 = 0;
12) 3cos2x – sinx – 1 =0;
13) 2cos( 3 + 3x) – 3= 0.
14) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 2;
III. Усвоение новых знаний
Учитель:
— Ребята, а какие уравнения остались без таблицы? (6,10, 14)
— Это однородные тригонометрические уравнения.
— Запишите тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений и уравнений сводящихся к однородным тригонометрическим».
Определим цель урока:
формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений
- умение решать все виды тригонометрических уравнений
На слайде появляется запись определения однородных тригонометрических уравнений, что это уравнения вида:
а sin x + b cos x = 0, a, b ≠ 0 и
a sin2x + b sin x cos x + k cos2x = 0, a, b, k ≠ 0
Учитель:
Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cos x = 0 , то получим, что sin x = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).
Итак, рассмотрим решение уравнения:
2sin x – 3cos x = 0,
2sin x cos x — 3cos xсos x = 0cos x , cos x ≠ 0
2 tg x – 3 = 0
2 tg x = 3
tg x = 1,5
x = arctg1,5 + πn, n € Z
Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z
— А теперь решим уравнение 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0;
Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.
— Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?
— Да, каждый.
— Какой мы можем сделать вывод?
— Это уравнение однородное.
— Как мы решаем такое уравнение?
— Мы делим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, так как косинус и синус не могут одновременно равняться нулю.
3sin2x – 4sinx cos x + cos2x = 0;
3sin 2х cos2x — 4sinx cosx cos2x + cos2x cos2x = 0cos2x , cos2x ≠ 0
3tg2x – 4tgx + 1 = 0
Обозначим tg x = y
3y2 – 4y + 1 = 0
у1 = 13 у2 = 1
tg x = 13 tg x = 1
x1 = arctg1 3 + πk, k € Z x2 = 4 + πn, n € Z
Ответ: x1 = arctg1 3 + πk, k € Z, x2 = 4 + πn, n € Z
3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 2;
На доске записаны уравнения.
Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.
- sin x = 2 cos x – однородное
- 3sin3x – cos 3x = 0 – однородное
- sin2x – 2sin x – 3 = 0 – квадратное
- 2cos2x + 3sin2x + 2cos x = 0 – квадратное
- 6sin2x – cos2x – 5sin x cos x = 0 – однородное
Решить у доски уравнения: 1) 3sin3x – cos 3x = 0
3sin 3х cos 3x — cos 3xcos 3x = 0cos 3x, cos 3x ≠ 0
3 tg3x – 1 = 0
tg3x = 13
3x = arctg 13 + πn, n € Z
3x = 6 + πn, n € Z
x = 18 + πn3, n € Z
Ответ: x = 18 + πn3, n € Z
2) 6sin2x – cos2x – 5sin x cos x = 0
6 sin 2х cos2x — cos2x cos2x — 5sinx cosx cos2x = 0cos2x , cos2x ≠ 0
6 tg2x – 1 – 5 tgx = 0
Обозначим tg x = y
6y2 – 5y — 1 = 0
у1 = — 16 у2 = 1
tg x = —16 tg x = 1
x1 = -arctg1 6 + πk, k € Z x2 = 4 + πn, n € Z
Ответ: x1 = -arctg1 6 + πk, k € Z , x2 = 4 + πn, n € Z
Учебник стр 147 №23.18-23.23(б)
- Проверка усвоения нового материала.
Самостоятельная работа
| I вариант | II вариант |
| Решить уравнения: | |
| а) 3sin x – cos x = 0;
б) 3cos2x + sin2x = 0; в) 2sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 0. |
а) sin x + 3cos x = 0,
б) 3 sin5x + cos5x = 0 в) 2sin2x + sinx cosx — 3cos2x = 0 |
По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их.
- Подведение итогов.
— С каким видом уравнений познакомились?
— Как решаются эти уравнения?
-Что имеем после деления?
— Имеются ли у вас вопросы по решению однородных уравнений?
Домашнее задание повторить алгоритм решения однородных уравнений, выполнить № 23.18- 23.22(а) по желанию 22.24
Подведем итог: продолжите фразу:
Сегодня на уроке я научился…
азы:
сегодня я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…
я приобрел…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
— К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.
«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
— Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.
