Автор: Перминова Анастасия Алексеевна
учитель начальных классов МОУ «СОШ с. Ивантеевка им. И.Ф. Дремова»
Формирование вычислительных умений в новых условиях.
Формирование вычислительных умений в новых условиях.
До вступления в силу Федерального государственного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО) изучение арифметических действий связывали, прежде всего, с формированием вычислительных навыков, понимаемых как высокая степень овладения вычислительными приемами, приобрести которые — «…значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». Формирование вычислительных навыков долгое время было одной из главных задач обучения математике в начальной школе. Пути ее решения, соответствующие тому периоду начального образования, были реализованы в действовавших тогда учебниках математики, представлены в методических пособиях, обсуждались в многочисленных публикациях. В связи с реформированием системы образования, поиском новых парадигм образования, созданием и внедрением новых учебников математики, учебных комплектов по всем предметам начальной школы в последние два десятилетия на первом плане были вопросы общей методики обучения. Вопросы частной методики, к которым относится и обучение умению быстро и безошибочно выполнять четыре арифметических действия, ушли на второй план. Сегодня проблема обучения учащихся начальной школы вычислениям является одной из актуальнейших и, пожалуй, самой запущенной. В требованиях ФГОС НОО, в Примерной основной образовательной программе начального общего образования нет термина вычислительные навыки. В этих документах говорится об умении «выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями». Так как государственные требования к результатам обучения в соответствующей части сформулированы с использованием термина умения, то и отчитываться о достижении требуемых результатов в этой части можно только по качествам и уровню названных в требованиях умений. За последние 20–30 лет значительно изменились условия жизни, в том числе учебной жизни младших школьников. Одно из изменений, относящееся к проблеме формирования вычислительных умений, — повсеместное использование калькуляторов, в том числе в начальной школе. Калькулятор в повседневной жизни все больше заменяет нам устные и письменные вычисления. Оградить учащихся начальной школы от них невозможно, и потому нужно найти способы включения калькулятора в учебный процесс не в ущерб, а во благо образованию младших школьников в целом и во благо обучению устным и письменным вычислениям в частности. Важные изменения произошли также в педагогических подходах к обучению в целом и к обучению математике в частности. Эти изменения закреплены в требованиях ФГОС НОО. Впервые в отечественном образовании заданы как предметные, так и личностные и метапредметные результаты обучения. Следовательно, формирование вычислительных умений также должно обеспечивать достижение не только предметного результата — определенного уровня и качества вычислительных умений, но и достижение личностных и метапредметных результатов. Изменения коснулись и содержания обучения. Так, ФГОС НОО объединил в одну образовательную область математику и информатику, что усилило алгоритмическую и информационную линии начального математического образования.
Вычисления являются алгоритмическими процессами, а характеристика вычислительного приема очень схожа с характеристиками понятия алгоритма: «Алгоритм — точное, понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач (для которого и предназначен этот алгоритм)»; «Алгоритм — предписание исполнителю (человеку или автомату) выполнить точно определенную последовательность действий, направленных на достижение заданной цели или решение поставленной задачи»), которое сегодня является одним из ключевых понятий образовательной области «Математика и информатика». Среди требований ФГОС НОО к предметным результатам этой образовательной области есть требование: «овладение основами логического и алгоритмического мышления». При рассмотрении проблемы формирования вычислительных умений целесообразно термин вычислительный алгоритм. Под вычислительным алгоритмом будем понимать алгоритм нахождения результата арифметического действия с двумя числами из заданного множества или алгоритм на» хождения значения числового выражения с одним арифметическим действием). Вычислительные алгоритмы — это алгоритмы решения вычислительных задач, в которых по двум данным числам требуется найти третье, задаваемое характеристическими свойствами, заложенными в определениях арифметического действия и следствиях из них. Отдельно выделим понятие алгоритм нахождения значений числовых выражений с тремя и более арифметическими действиями. Такие алгоритмы тоже решают задачи вычисления и потому также могут быть названы вычислительными алгоритмами. Но тогда такой алгоритм следует назвать вычислительным алгоритмом второго уровня, а алгоритмы выполнения действия с двумя числами — вычислительными алгоритмами первого уровня, так как действия с двумя числами при нахождении значений выражений в 3 и более действий выполняют функции операций этого алгоритма. Использование понятия вычислительный алгоритм — это переход на новый уровень понимания вычислительного процесса, проявление и усиление его алгоритмической природы. Формирование вычислительных умений учащихся — это организованный учителем процесс овладения учащимися вычислительными алгоритмами. Вычислительных алгоритмов, которые могут быть освоены учащимися, достаточно много. В том или ином виде они представлены на страницах учебников математики. Учащиеся могут изобретать и свои алгоритмы, и предписания алгоритмического вида. Предписание алгоритмического вида — это предписание, имеющее вид алгоритма, но не обладающее всеми свойствами алгоритма. «Однако, несмотря на различия между этими понятиями, часто алгоритмические предписания называются алгоритмами». Классифицировать вычислительные алгоритмы, которые могут входить в содержание обучения математике учащихся начальной школы, можно по разным основаниям. Одно из таких оснований — использование материальных объектов, инструментов и технических средств при выполнении алгоритма, когда алгоритм предписывает операции с ними. Можно выделить следующие группы вычислительных алгоритмов.
Алгоритмы нахождения результата арифметического действия с помощью оперирования с группами предметов и счета: вычисления на пальцах, счетных палочках, предметных картинках, рисунках, графических, геометрических моделях групп предметов (это отражение теоретико-множественного смысла действий); вычисления с использованием прямого измерения величин предметов, геометрических фигур (как моделей предметов), представляющих исходные числа и результаты действий (это отражает величинный смысл арифметических действий).
Алгоритмы вычислений с помощью инструментов и механических устройств.
Алгоритмы поиска результата действия по строкам и столбцам таблиц сложения и таблиц умножения, в том числе алгоритмы заполнения ячеек указанных таблиц на основании нескольких заданных результатов или полученных с помощью алгоритмов из других групп. Назовем алгоритмы этой группы табличными алгоритмами.
Алгоритмы, не содержащие предметных действий с материальными объектами. Это алгоритмы устных и письменных вычислений.
Вычисления на калькуляторе. Другим основанием для классификации вычислительных алгоритмов являются их теоретические и эмпирические (практические) основы. Теоретической основой алгоритма называют теоретические положения, а эмпирической (практической, предметной) — действия с предметами или их графически» ми образами, которые обосновывают в алгоритме «законность» включения операции в алгоритм, перехода от одних операций к другим.
Алгоритмы вычислений, среди операций которых есть действия с предметами или их материальными, или графическими моделями, раскрывают, иллюстрируют смыслы арифметических действий и их свойств в теоретико-множественной, величинной и порядковой теориях числа.
Алгоритмы вычислений с помощью инструментов и механических устройств — это сложение и вычитание с помощью двух масштабных линеек, линейки и циркуля, вычисления на абаке (в том числе на само» дельном) и счетах. Такие вычисления могут расширять представления учащихся о способах вычислений, побуждать к изобретению инструментов для вычислений.
Табличные вычисления и соответствующие алгоритмы занимают особое место среди вычислений. Они основаны на свойствах таблицы, арифметических действий и десятичной системы счисления. Свободное владение табличными вычислениями — это знание наизусть результатов сложения и умножения, а также соответствующих случаев вычитания и деления для всех однозначных чисел. Достижение такого результата может быть обеспечено разными средствами. Самым неэффективным и противоречащим духу ФГОС является зазубривание таблицы без понимания ее смысла и назначения. Противоположная крайность — организация творческой, смысловой работы с табличными случаями без установки на запоминание. Истина, как всегда, посередине, и современные учебники математики ориентируют учителя на обеспечение понимания и запоминания.
Закономерностей, которые могут быть замечены по таблице сложения/вычитания, очень много. Большинство закономерностей числовых рядов в таблице доступны учащимся I класса, овладевшим смыслами сложения, умением вести счет, складывать числа на основе предметного смысла сложения и (или) прибавлять по частям несколько первых чисел натурального ряда на основе свойств этого ряда. Поэтому даже с первоклассниками можно обсуждать роль таблицы сложения однозначных чисел для овладения умением складывать и вычитать любые числа.
Возможности таблиц умножения/деления еще более значительны. На основе обнаруженных закономерностей по нескольким результатам умножения, найденным на основе предметных смыслов или на основе сложения, также могут быть заполнены все ячейки. Самые простые закономерности наблюдаются в каждой строке и столбце: каждое следующее число больше предыдущего на одно и то же число. Поэтому результаты умножения можно получить путем последовательного прибавления к данному однозначному числу, а затем к результату такого сложения одного и того же слагаемого.
В таблице числовые закономерности устанавливать легче, чем при другой форме представления. Умение «устанавливать закономерность — правило, по которому составлена числовая последовательность, и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение/уменьшение числа на несколько единиц, увеличение/уменьшение числа в несколько раз)» является базовым, владение которым требует ФГОС НОО, поэтому работа с таблицами сложения/вычитания и умножения/деления должна вестись и в этом направлении. Для овладения табличными вычислительными умениями важно, чтобы и учитель, и учащиеся понимали причины, по которым вычисления называют табличными, их особый статус, заключающийся в том, что знания результатов сложения и умножения для всех пар однозначных чисел или умения находить эти результаты в таблице достаточно для того, чтобы сложить и умножить любые целые числа, а также найти разность и частное чисел, для которых эти действия выполнимы (в целых числах). Устными вычислительными алгоритмами (приемами) принято называть такие алгоритмы, в состав операций которых не входят записи и операции с предметами, инструментами, вычислительными устройствами, что означает, что все операции могут быть выполнены устно. Это алгоритмы: прибавления единицы (сумма любого числа и единицы равна следующему числу); вычитания единицы (разность любого числа и единицы равна предыдущему числу); присчитывания и отсчитывания по единице; сложения на основе правила прибавления числа к сумме (сочетательного свойства сложения) и вычитания на основе правила вычитания числа из суммы; поразрядного сложения и поразрядного вычитания; умножения на основе правила умножения числа на сумму (распределительного свойства умножения относительно сложения); умножения на основе правила умножения числа на произведение (сочетательного свойства умножения); деления на основе правила деления суммы на число; сложения, вычитания, умножения и деления на основе зависимости изменения результата действия от изменений компонентов действий (если одно слагаемое увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится; если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится; если один множитель увеличить, а второй уменьшить в одно и то же число раз, то произведение не изменится; если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится) и др. Развернутые записи могут быть полезны и необходимы на этапе знакомства с устным вычислительным алгоритмом, но нельзя представлять учащимся запись как обязательную операцию устных вычислительных алгоритмов, тем более в какой-либо единственной форме, заданной учителем или учебником. Нужно приветствовать разнообразие форм записи, обсуждать назначение каждой записи, степень ее влияния на качество вычислений, оценивать степень соответствия формы записи ее назначению. Запись вычислений при применении устных вычислительных алгоритмов может быть полезна при поиске закономерностей, конструировании нового алгоритма, включающего операции с графическими знаками. Записи при применении устных вычислительных алгоритмов могут быть предметом творчества учащихся, средством проявления понимания выполняемых вычислений, обнаружения свойств чисел и действий с ними, передачи способа вычислений другому ученику, средством познания себя, следовательно, и средством достижения метапредметных и личностных результатов. Следует различать устные вычислительные алгоритмы и устные вычисления. Устный вычислительный алгоритм — это общий способ нахождения по двум данным числам третьего, заданный в виде алгоритма, среди операций которого нет операции записать. Устные вычисления или вычисления в уме — это вычисления, которые проводятся человеком без калькулятора, без записей или с записью только результата. На уроке математики их включают в устные упражнения. В устных вычислениях чаще всего используют устные вычислительные алгоритмы. Письменными алгоритмами вычислений принято называть такие алгоритмы арифметических действий, в состав операций которых входит запись исходных чисел, промежуточных результатов и конечного результата в определенной форме.
Существуют письменные алгоритмы всех четырех арифметических действий. Прежде всего, это известные алгоритмы сложения, вычитания, умножения в столбик, а также деление уголком. К письменным можно отнести и некоторые другие приемы, в которых запись является операцией алгоритма, как, например, алгоритм быстрого умножения двузначного числа на 11, алгоритмы умножения на «единицу с нулями». Выполнение устных, письменных и табличных вычислений — это мыслительная деятельность, где применение каждого алгоритма представляет действие, состоящее из ряда умственных операций. По мере освоения алгоритма это действие само может стать операцией другого вычислительного алгоритма. Мыслительная деятельность человека характеризуется сворачиваемостью мыслительных операций, заменой материальных или материализованных операций операциями со знаками. При выполнении безмашинных вычислений человек может менять характер своих действий в рамках одного алгоритма. Так, после запоминания результатов табличного сложения, вычитания, умножения, деления мы выполняем только одну операцию — достаем из памяти и называем результат. Последняя группа вычислительных алгоритмов — алгоритмы вычислений на калькуляторе.
Владение вычислительными умениями подразумевает умение контролировать и оценивать ход и результат вычислений. Основным и едва ли не единственным приемом проверки калькуляторных вычислений является предварительная прикидка результата с последующей оценкой полученного ответа. В целом роль прикидки и оценки не только вычислений, но и других действий в современном мире возрастает. Обучение приемам прогнозирования — прикидки и оценки результатов любых вычислений наряду с использованием (не частым) калькулятора при самопроверке результатов устных и письменных вычислений — это то, что может включить калькуляторные вычисления в процесс формирования устных и письменных вычисли» тельных умений. Прикидка и оценка во ФГОС НОО названы в числе основных требуемых предметных результатов образовательной области «Математика и информатика». Обучение приемам прикидки и оценки таит в себе богатейшие возможности развития личностных качеств, готовит учащихся к жизни в стремительно меняющемся информационном обществе, принятию решений на основе неполной информации.
Процесс формирования вычислительных умений — сложный и многогранный. Он должен основываться на понимании арифметических действий, поэтому последовательность и характер изучения арифметических действий должны быть такими, чтобы при введении действия учащиеся искали ответы на вопрос «Что такое сложение (вычитание, умножение, деление)?», а после получения ответов и овладения смыслами действия у них появились бы вопросы: «Как по двум данным числам находить результаты сложения (вычитания, умножения, деления)?» и «Как научиться находить результаты сложения (вычитания, умножения, деления)?».
