Всероссийские профессиональные конкурсы педагогических работников

— Проверьте все ли у вас готово  к уроку.
— Готовы к уроку? Итак, начинаем.

— Что мы о нем знаем? Какие теоремы позволяют решать прямоугольный треугольник, т. е. находить неизвестные элементы?  

(1. Теорема Пифагора;  

2. Теорема об угле в 30 градусов;  

3. Теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника, 

4. Метрические соотношения)

Вспоминают и формулируют основные теоремы прямоугольного треугольника. 

— Как вы понимаете данное задание? Что значит решить треугольник? (Решить треугольник – значит найти все эго элементы)

— А сколько элементов у треугольника? И какие? (6 элементов: 3 угла, 3 стороны)

— А сколько элементов у прямоугольного треугольника нам неизвестно? (5, так как один угол 90 градусов)

— Правильно. Выполним устно 3 задачи со слайда. 

—  Задача 1.   Нам дано: ΔАВС; угол С = 90°; АС = 5; СВ = 2. 

— Какие еще элементы необходимо найти, чтобы треугольник был решен? 

(Найти: углы А и В; АВ) 

— Какие элементы мы уже точно сможем вычислить и как?  (гипотенузу АВ)

— Вычислите гипотенузу устно.  ( АВ = √4 +25 = √29)

—  Сколько в треугольнике известно элементов? (известно 4 элемента)

— Хорошо. Осталось найти еще два элемента- это угол А и угол В.

— Как найти угол А и угол В? 

(Предполагаемый ответ: Невозможно).

— Хорошо оставим данную задачу, перейдем к решению 2 задачи. 

— Нам дано: ΔАВС; угол С = 90°; АС = 2; угол В = 30°. 

— Какие еще элементы необходимо найти, чтобы треугольник был решен? 

(Найти: угол А; АВ; СВ) 

— Какие элементы мы уже точно сможем вычислить и как? 

(1.  АВ = 2 · 2 = 4 (по свойству угла в 30°),  

 2.  СВ = √16 – 4 = √12 = 2√3 (по теореме Пифагора),

3.  Угол А = 60°(по свойству прямоугольного треугольника) 

—   Сколько в треугольнике известно элементов?  (6 элементов известно)

— Следовательно, задание выполнили —  треугольник решен. 

— Рассмотрим последнюю 3 задачу. 

— Нам дано: Дано: ΔАВС; угол С = 90°; АС = 2; угол В = 20°. 

— Какие еще элементы необходимо найти, чтобы треугольник был решен? 

( угол А; АВ; СВ).

— Какие элементы мы можем найти?  (Ни один элемент найти невозможно). 

—  Почему третья задача не решается, хотя набор элементов тот же, как и во второй задаче?  (Во второй задаче есть формула (теорема), которая связывает угол и сторону, но она работает только для угла 30°)

—  Нет ли такой теоремы, которая связывает сторону с любым углом прямоугольного треугольника? 

— Конечно есть.

— Сегодня мы начинаем изучать один из трудных разделов математики. Все, с чем вы  познакомитесь сегодня, понадобится вам в будущем. Причем этот материал будет использоваться очень часто и в алгебре, и в геометрии. 

—  Тригонометрия– математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

— Открываем тетради, записываем число и тему урока: «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника».

— Главное запомните, ребята, что данные тригонометрические функции, которые мы с вами сейчас изучим: 

1. Работают только в прямоугольных треугольниках; 

2. Применяются только для острых углов. 

3. Тригонометрические (треугольник + метрия = измерения в треугольнике); 

—  Сегодня на уроке определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии. 

— Нарисуем прямоугольный треугольник АВС и обозначим его элементы через буквенные выражения: большие АВС – вершины угла, где С – вершина прямого угла,  авс- стороны, углы α и β- обозначим острые углы треугольника, где α- угол при вершине А, угол β при вершине В.

— Посмотрите на рисунок и назовите: 

1. Прилежащий катет угла А  (катет в или АС),

2. Прилежащий катет угла β   (катет а или ВС),

3. Противолежащий катет угла В  (катет в или АС),

4. Противолежащий катет ушла α  (катет а или ВС),

5. Противолежащую  сторону угла С (гипотенуза с или АВ).

—  А сейчас введем основные тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

—  Синусом  острого угла прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к гипотенузе:

А или  sinα= = противолежащий катетгипотенуза=ВСАВ=ас

— Косинусом  острого угла прямоугольного треугольника называется  отношение прилежащего катета к гипотенузе:

(или cosα)= прилежащий катетгипотенуза=АСАВ=bс

— Тангенсом  острого угла  прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к прилежащему:

A (или tgα)=противолежащий катетприлежащий катет=ВСАС =аb

 — Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  называется отношение прилежащего катета к противолежащему (или же  отношение косинуса к синусу):

A (или tgα)=прилежащий катетпротиволежащий катет=АСВС =ba

— Самостоятельно запишите значения косинуса, синуса, тангенса и котангенса для острого угла В (или β). Посмотрим у кого что получилось.

Разбирают и изучают совместно с учителем тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. 

Знакомятся с понятиями синус, косинус, тангенс, котангенс. 

Используют  данные понятия при решении практических задач.  

— Но для начала скажите, можем ли пользоваться тригонометрическими функциями? Почему? (Да можем, так как треугольник прямоугольный). 

— Назовите:

1. Прилежащий катет угла N,

2. Противолежащую сторону угла М,

3.  sin M 

4.  cos N

5.  tg M

6.  ctg N

— Молодцы, открываем учебники и выполним № 582.

— Что нам дано в условии? (прямоугольный треугольник, у которого катет = 8 см, а гипотенуза 10 см).

— Сделаем чертеж прямоугольного треугольника и обозначим вершины АВС, где С – вершина при прямом угле, АС=8см, АВ=10см.

— Под 1)  пунктом нам надо найти синус угла, противолежащего меньшему катету.

— Для того чтобы воспользоваться тригонометрическими функциями острого угла прямоугольника нам не хватает еще одного элемента – это второго катета СВ. Найдите его. (СВ=6 см по теореме Пифагора)

— Синус какого угла нам надо найти?   (синус угла А, противолежащего меньшего катета СВ= 6 см)

— Как найти синус угла А? (синусом угла А =  отношение противолежащего  катета ВС=6см к гипотенузе АВ=10см)

— Итак,
А = ВСАВ=610=35 см

(Пункты 2-4 ученики у доски)

— Под 2) пунктом, косинус какого угла необходимо найти?  (косинус угла А, прилежащего к большому катету АС=8см). 

—  Произнесите определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.  

— Что получили? 

А = AСАВ=810=45 cм

— Под 3) пунктом, тангенс какого угла необходимо найти?  (тангенс угла А, противолежащему к меньшему катету ВС=6см).  

— Произнесите определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.  

— Что получили? 

А = BСАC=68=34 cм

— Под 4) пунктом, котангенс какого угла необходимо найти?  (котангенс угла А, прилежащего к большему катету АС=8см).  

— Произнесите определение котангенса острого угла прямоугольного треугольника.  

— Что получили? 

А = АСВC=86=43=113 cм

— Самостоятельно в тетрадях выполните номер 585. По окончанию проверим, у кого что получилось. 

Отвечают на вопросы учителя, пользуются тригонометрическими функциями острого угла прямоугольного треугольника. 

Выполняют задание на доске с комментированием и самостоятельно в тетрадях. 

— С каким функциями сегодня вы познакомились на уроке? 

— Для каких треугольников справедливы данные тригонометрические функции?

— Для каких углов прямоугольного треугольника можно использовать тригонометрические функции?

— Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника?  

— Все ли получилось усвоить на данном уроке? 

— Что показалось трудным при изучении?

Письменно: №581, 586