Всероссийские профессиональные конкурсы педагогических работников

Организатор включен в Перечень Минпросвещения России

Каталог конкурсов

автор:

Редько Алина Максимовна

ученик МКОУ СОШ № 80 им. В.П. Кузнецова

Беккер Роман Александрович

ученик МКОУ СОШ № 80 им. В.П. Кузнецова

«Экзамен по математике — это просто!»

Добрый день, уважаемые ребята, учителя!

Меня зовут Беккер Роман, я ученик 9 класса школы № 80 им. В.П. Кузнецова. 

Сегодня вашему вниманию я представлю проектно-исследовательскую работу по математике, тема которой «Экзамен по математике – это просто!!!»  (Сдайд 1)

Гипотеза, которую я хочу проверить. Существуют ли простые и лёгкие способы решения различных математических задач, способы запоминания таблицы умножения и способы умножения, способы сложения и вычитания, которые не являются общеизвестными, и смогут ли менее успешные ученики применять эти знания на практике.

 

(Сдайд 2)

Цель моей работы —  Исследовать  и показать нестандартные  способы решения некоторых математических задач; создать справочник-подсказку для успешной подготовки учащихся к сдаче экзамена по математике (ОГЭ, ЕГЭ) 

     Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных способов  и приёмов решения математических задач способствует формированию вычислительных навыков, усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

      (Слайд 3) 

Практическая значимость исследования заключается в том, что данный материал может быть использован на уроках математики, при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, а также на факультативных занятиях и мероприятиях в рамках недели математики.

Перед собой я поставил следующие задачи:  

Слайд 4

  • Найти необычные способы  и приемы решения математических задач.
  • Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются               в школе.  
  • Научиться их применять на практике.
  • Научить одноклассников применять новые способы и приемы при подготовке к экзамену, а также собрать эти способы и приемы в единый справочник-подсказку по математике, содержащий наглядную и понятную информацию.

Первый этап – подготовительный

Я наметил цель, определил задачи и начал собирать нужную мне информацию.

  • Самое простое и самое главное, что должен знать любой ученик – это таблица умножения, правила счета. Начнем с таблицы умножения, ведь очень часто, именно,  незнание таблицы умножения может испортить весь результат.

       Составителем таблицы называют древнегреческого математика Пифагора.

Пифагор, прежде всего — это мудрец и философ. Точной даты рождения Пифагора не знает никто, но исторические исследователи датируют это событие приблизительно 580 годом до нашей эры.  Будущий математик и философ уже в детстве проявлял большую способность к наукам. Философ считал таблицу умножения отображением вселенной, где угадывается за закономерностью чисел ровный строй планет и скоплений звезд, где угадывается гармония космоса и слышится божественная музыка. Таблица умножения скрывает в себе много замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее немало сюрпризов. Что представляет собой таблица Пифагора? (Слайд 5).    По горизонтали и по вертикали расположены числа натурального ряда; на пересечении столбцов и строк стоят их произведения. Диагональ таблицы образуют квадраты чисел. Данную таблицу мы все видели и пользовались ей почти на каждом уроке математики, так как она напечатана на обложке простой тетради в клетку. 

  Разные способы запоминания таблицы умножения. 

Посмотрев внимательно на таблицу, можно найти закономерности в ней.

Вот некоторые из них:

  1. При умножении на 1 любое число остаётся тем же.
  2. Все примеры на 5 оканчиваются на 5 или 0: если число чётное, приписываем 0 к половине числа, если нечётное — 5.
  3. Все примеры на 10 оканчиваются на 0, а начинаются с числа, на которое мы умножаем.
  4. Примеры на 5 вполовину меньше, чем примеры на 10 (10 × 5 = 50, а 5 × 5 = 25).
  5. Чтобы умножать на 4, можно просто дважды удваивать число. Например, чтобы умножить 6 × 4, нужно удвоить 6 два раза: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
  6. Чтобы запомнить умножение на 9, запишите ряд ответов в столбик: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Запомнить нужно первое и последнее число. Все остальные можно воспроизвести по правилу: первая цифра в двузначном числе увеличивается на 1, а вторая уменьшается на 1.

При изучении таблицы умножения необходимо учитывать свойство коммутативности.  Это, то самое, известное правило: от перестановки множителей произведение не меняется.

Ребёнку станет понятно, что на деле ему нужно выучить не всю, а только половину таблицы, и некоторые примеры он уже знает. Например, 4 × 7 — то же самое, что 7 × 4.

В интернете я искал разные  способы умножения и наткнулся на игры, которые помогают повторить и запомнить таблицу умножения. Для младших школьников это могут быть различные раскраски, которые есть не только в электронном виде, но и  лежат на прилавках многих магазинов, различные игры с наклейками. (Слайд 6) Для старших школьников можно использовать китайский способ умножения, где необходимо рисовать количество линий и находить их точки пересечения, (Слайд 7) итальянский, который был распространен в Италии и странах Востока и т.д 

           

 

 Умножение на 9 с помощью пальцев

Я   был удивлен изобретательностью этого способа умножения. Всё очень просто и интересно. Совсем не нужно запоминать таблицу умножения на девять!
И калькулятор  не потребуется – нам помогут  пальцы рук. Посмотрим на раскрытые ладони. Перед нами десять пальцев. Теперь загибаем первый палец слева. Осталось девять пальцев. Мы умножили девять на один. Теперь попробуем умножить на 2: раскрываем ладони и загибаем второй палец слева. С одной стороны от загнутого пальца остался один палец, а с другой – восемь. Один, восемь – получилось 18!Умножим 9 на 7? Загибаем седьмой по счету палец. Слева остается шесть, а справа три – 63!  (показать на руках!!!)

      Умножение на 9 с помощью тетрадных клеток (Слайд 8)

Возьмём  10 клеточек в тетради.  Нужно 9 умножить на 8. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит,  9·8=72. Все очень просто!!!  

      Рассмотрите теперь саму таблицу умножения числа 9 (Слайд 9)

 Какую закономерность можно увидеть?  Сумма чисел во всех произведениях равна 9!  А теперь давайте разберемся, как узнать само произведение. Из второго множителя вычитаем 1 и получаем количество десятков в ответе. Чтобы узнать количество единиц, надо из 9 вычесть количество десятков. Надо попробовать несколько раз  показать этот способ ребенку, чтобы он  смог им пользоваться. 

 Можно еще и еще записывать различные способы умножения на 9, но думаю, что этого будет достаточно, так как любой ученик, освоивший один из данных способов, уже никогда не допустит ошибку при умножении на 9. 

Таблицу умножения выучили, теперь попробуем научиться складывать и вычитать обыкновенные дроби. (Слайд 10) 

Суть данного метода заключается в том, что мы должны перемножить числитель первой дроби со знаменателем второй, и знаменатель первой с числителем второй. Полученные произведения сложить или вычесть, все зависит от знака арифметического действия, полученный результат записать в числитель, а знаменателем будет произведение знаменателей обеих дробей. Попробуйте, и у вас обязательно получится!!!  

Применяя эти знания, можно смело говорить о том, что первое задание у тебя «в кармане».

 

  • Возведение двузначных чисел в квадрат  (Слайд 11)

Здесь все очень просто: нужны формулы сокращенного умножения

 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, 

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2   и сама таблица умножения и все!!!

Назовите мне любое число и я его возведу в квадрат.

  

Квадрат чисел, заканчивающихся на 5 (Слайд 12)

Как возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. 

Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.  Привести пример!!!

  • Решение квадратного уравнения по его коэффициентам (Слайд 13)

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а не равно 0.

Если,  а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

             то х1 = 1, х2 = с/а.

Если, а + с = b 

             то х1 = — 1, х2 = — с/а.

Существуют еще различные способы отыскания корней в квадратном уравнении, но, я думаю, что этого будет достаточно, чтобы выполнить задание 6. Также не стоит забывать и про теорему Виета.

  1. Признаки делимости чисел (Слайд 14)

на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. В 11-ом классе задание на применение этих свойств имеется и в профильной и базовой математике.  Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

В школе изучаются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, а остальные рассматриваются либо на внеурочном занятии, либо при углубленном изучении предмета.  Иногда на экзамене пытаются делить числа, которые нацело не делятся, тратят на это кучу времени и нервов, зная о том, что конечным ответом должно быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь, и в итоге, нет ни времени, ни ответа.

Остановлюсь подробнее на этом. (прочитать с доски со слайда)

Можете назвать любое число, а я скажу вам, делится ли оно на какое-то из этих чисел.

  1. Решение текстовых задач

Настоящая математика заключается не в решении примеров, а в решении различных математических задач. Поэтому тема решения задач более актуальна, задачи учат нас думать логически, приводят наши мысли в порядок. 

При выполнении 22-го  задания из второй части ОГЭ по математике и 11-го  задания в ЕГЭ по профильной математике можно встретить следующие типы задач: задачи на проценты, задачи на смеси и сплавы, задачи  на движение по прямой и по окружности, задачи движение по воде, а также задачи на совместную работу. 

При решении задач на смеси и сплавы можно выделить два типа задач: когда что-то с чем-то смешали;  и когда что-то с чем-то смешали, а потом еще чего-то добавили или произвели замену на что-то. 

При решении задач так называемого первого типа удобнее всего использовать метод Пирсона (метод креста или метод конверта), (Слайд 15) при решении задач второго типа легко применять «метод стаканов или пробирок». Решение задач становится наглядным и более понятным.  Преимущества метода Пирсона в том, что он доступен ученикам, которые не умеют писать уравнения, и полезен для домохозяек при расчете нужной концентрации уксуса или сиропа «Метод стаканов или пробирок» наглядно продемонстрирован на слайде. (Слайд 16) 

Пауза несколько секунд

(Слайд 17) При решении задач на движение всегда необходимо обозначать за неизвестную величину СКОРОСТЬ, и все данные помещать в таблицу, тогда задача решается всегда!!! А корни легко находить методом подбора, что также сокращает время при выполнении заданий. Табличный метод удобен и прост!!!  

Задачи на совместную работу решают аналогично, только за неизвестную величину выбирают производительность p (как скорость), а объем всей работы A подразумевают под расстоянием.  

  1. Работа с формулами. 

Здесь всегда нужно помнить простые математические законы, которым нас учат еще в начальной школе. Задача становится проста, когда в формулу подставить все известные величины. После подстановки получается простое уравнение, а далее – знания начальной школы!!!  (Слайд 18) 

пауза 

Предлагаю перейти к геометрии, так как, не набрав минимальный балл по геометрии, экзамен будет провален. Поэтому рассмотрим следующие приемы:

  • Прямоугольный треугольник: теорема ПИФАГОРА. 

             Пифагоровы тройки. (Слайд 19)

Хорошо, конечно, знать теорему Пифагора  наизусть и уметь применять ее без ошибок, но, к сожалению, не всем это удается. А можно запомнить очень хорошее и интересное свойство, которыми обладают  Пифагоровы тройки. Это три числа, для которых выполняется теорема Пифагора. 

Пифагоровы числа обладают рядом свойств (на основании ЕГИПЕТСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА со сторонами 3, 4 и 5):

  • Один из катетов должен быть кратным трем
  • Другой  из катетов должен быть кратным четырем
  • Одно из Пифагоровых чисел (гипотенуза) должно быть кратно 5

Зная и применяя эти свойства, при выполнении заданий даже не понадобиться прибегать к счету, просто записываем ответ.

  • Так же очень простым , на мой взгляд, является задание на Вычисление площадей многоугольников.  

Самым сложным в изучении геометрии является то, что необходимо выучить наизусть все теоретические понятия и формулы. Как же быть, если необходимо вычислить площадь какой-либо фигуры, а формул нет ни в справочном материале, ни в голове? Здесь на помощь поспешит формула Пика (теорема Пика) (Слайд 20), с помощью которой можно посчитать площадь любой геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге или квадратной решетке. Все очень просто: считаем узлы и делаем вывод на основании теоремы Пика.  

Освоив данный алгоритм, задача на вычисление площади геометрической фигуры будет без труда решена.

  1. В этом году на уроках геометрии мы познакомились с формулами приведения. Оказывается, Формулы приведения (все очень просто и легко)!!!  (Слайд 21, 22)

Мы узнали, как они работают и для чего они нужны. На уроке Ольга Александровна  рассказала нам о том, что при изучении тригонометрии в 10-11 классах мы будем ими пользоваться очень часто, и поделилась «секретом» о том, что ученики пытаются их учить наизусть, а это очень сложно. Предложила нам найти в интернете информацию о том, как легко и просто их выучить. Я нашел способ, который позволяет вычислять значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. Данный способ подробно представлен на слайде. Первое, что нужно сделать – это запомнить, что в тригонометрическом круге ось синусов – это вертикальная ось, которая имеет «рабочие углы» («смотрим вверх, в синее небо», ось косинусов – горизонтальная ось, которая имеет «спящие углы» – «косим косой влево/вправо»). В 9 классе на ОГЭ по математике нам не пригодится эта информация, но в 11 классе данные задачи содержатся в КИМ, поэтому целесообразно начинать изучать данную тему сразу.  

Второй  этап моей работы  – основной: создание справочника-подсказки  для успешной подготовки к экзамену, познакомить своих одноклассников на уроках математики с найденными мной необычными математическими методами и приемами. Научить и помочь одноклассникам применять эти способы на уроке и дома. (Для создания справочника я использовал программное обеспечение Microsoft  Office Publisher 2013)

        Третий этап – это заключительный: после того, как я познакомил ребят с необычными  методами и приемами, мы в классе совместно с учителем провели пробную диагностическую работу по математике, результаты которой дали свои плоды. Большинство ребят, которые раньше не могли набрать минимальное количество баллов для успешной сдачи, смогли перейти эту границу. Работать, конечно, есть над чем, и я готов!!! Готов помогать учителю на уроках во время выполнения групповых заданий, на факультативных занятиях, быть наставником для слабоуспевающих ребят, только лишь бы все мои одноклассники успешно сдали экзамен по математике.  Так как я сам очень люблю математику и готов делиться своими знаниями со всеми, кому это необходимо. Мы провели в классе анкетирование, и я делал вывод о своей работе.

 В моем классе 20 человек, я в опросе не участвовал. Ниже представлены результаты анкетирования. (Слайд 23)

  • На слайде видно, что один ученик ответил на мой вопрос о том, помогли вам в учебе предложенные мной способы? Ответил НЕТ, а затем прокомментировал свой ответ вслух, что информация интересная, и что ему просто нужно время, чтобы этому научиться.

В заключение хочу сказать, что Результаты моей работы показали:

  • все дети хотят уметь считать, проводить различные вычисления
  •  новые способы были для ребят интересны и полезны
  • больше всего понравились способы: умножение на пальцах, умножение на 9 с помощью тетрадных клеток, решение квадратных уравнений по его коэффициентам, теорема Пика и формулы приведения.  

Продуктом моей работы является пособие в виде справочника-подсказки для успешной подготовки к экзамену по математике, который я демонстрировал в школе, мы его распечатали и используем на уроках и во время занятий подготовки к экзамену.

Поработав с литературой и материалами в Интернете, я понял, что мной рассмотрены  далеко не все способы, а это значит, что впереди меня ждет много интересного и увлекательного. Свою работу я планирую продолжать на протяжении обучения в 10-11 классе, отыскивать новую интересную информацию и делиться ее со всеми желающими.

 

 

Справочник для проекта

Районный конкурс проектов 

Школьных образовательных организаций

Проект на тему:

«Экзамен по математике – это просто!!!»

Направление: математика

Автор: Беккер Роман

Учащийся 9 А класса

Руководитель работы: 

Ольга Александровна Алексеева

 учитель математики 

первой квалификационной категории 

89137743904

2018 – 2019 

Содержание

  1. Аннотация
  2. Введение
  3. Основная часть
  • Первый этап – подготовительный
  • Таблица умножения (различные способы умножения)
  • Возведение двузначных чисел в квадрат
  • Решение квадратного уравнения по его коэффициентам
  • Признаки делимости чисел
  • Решение текстовых задач
  • Работа с формулами
  • Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора
  • Вычисление площадей многоугольников
  • Формулы приведения
  • Второй этап – основной: создание справочника-подсказки
  • Третий этап – заключительный: апробация собранных сведений на учащихся
  1. Заключение
  2. Приложение (справочник-подсказка)

 

Аннотация

     Цель работы: Исследовать  и показать нестандартные  способы решения некоторых математических задач; создание справочника-подсказки для успешной подготовки учащихся к сдаче экзамена по математике (ОГЭ, ЕГЭ) 

     Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных способов  и приёмов решения математических задач способствует формированию вычислительных навыков, усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

      Практическая значимость исследования заключается в том, что данный материал может быть использован на уроках математики, при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, а также на факультативных занятиях и мероприятиях в рамках недели математики.

Задачи: 

  • Найти необычные способы  и приемы решения математических задач.
  • Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются               в школе.  
  • Научиться их применять на практике.
  • Научить одноклассников применять новые способы и приемы при подготовке к экзамену, а также собрать эти способы и приемы в единый справочник-подсказку по математике, содержащий наглядную и понятную информацию.

Методы, используемые в работе:  

 поисковый метод: изучение  литературы, поиск необходимой информации в печатных источниках и в сети Интернет  

практический метод: применение различных способов вычислений на практике, сбор информации в единый источник, который послужит хорошим помощником не только во время подготовки к экзамену, но и применение данной информации на уроках. 

        Объект исследования: нестандартные и простые способы решения математических задач.

        Предмет исследования: процесс вычисления нестандартными способами различных математических задач.

        Полученные данные: показаны разные способы и математические приемы;

найдены оригинальные способы умножения: китайский способ, способ с помощью тетрадных клеток, выведена закономерность таблицы умножения и деления  на 9, позволяющая легко её запомнить, умножение на 11, возведение двузначных чисел в квадрат, решение квадратных уравнений с помощью коэффициентов, нахождение площадей различных фигур с помощью метода Пика и тд.

        Вывод: исследования доказали, что существуют различные способы и методики решения математических задач, что позволит не только успешно выполнять различные задачи, но и существенно выиграть время на экзамене для выполнения сложных задач, требующих немалых усилий.  Данная информация собрана в едином математическом справочнике для подготовки к экзамену.

 

Введение

       Всем детям приходится в школе знакомиться с таблицей умножения, с различными алгоритмами и математическими приемами при решении задач, с правилами вычислений. И некоторым очень  тяжело все это понять и запомнить, не говоря уже о применении на практике. Мне всегда было интересно узнавать что-то новое, применять это новое к различным задачам, спорить с учителем и делать правильные, а порой и неправильные выводы. Я решил заняться этой проблемой, узнать о том, что пишут в различных источниках по этому поводу, в том числе и в Интернете. Сначала 5-го класса мы все вели математический словарь, куда помимо терминов, записывали все алгоритмы, интересные способы и приемы решения различных задач, делали важные для себя пометки и рисунки. Этот словарь должен был каждому из нас послужить неоценимым помощником при подготовке к экзамену по математике, но, к сожалению, даже у половины класса он не сохранился. Вот я и решил, что соберу всю информацию с уроков математики, алгебры и геометрии, а также факультативных занятий и самостоятельных «открытий» воедино и создам математический справочник-подсказку для подготовки к успешной сдаче экзамена.  

      Методы, приёмы, используемые в работе: изучение печатной литературы, различной информации, анализ, наблюдение.

      Гипотеза. Существуют ли простые и лёгкие способы решения различных математических задач, способы запоминания таблицы умножения и способы умножения, которые не являются общеизвестными, и смогут ли менее успешные ученики применять эти знания на практике.

      Тип проекта: исследовательский 

 

Основная часть:

Ход работы:

      Первый этап —  подготовительный: наметил цель, определил задачи и начал собирать нужную мне информацию.

  •  Самое простое и самое главное, что должен знать любой ученик – это таблица умножения, правила счета. Начнем с таблицы умножения, ведь очень часто, именно, незнание таблицы умножения может испортить весь результат.

       Составителем таблицы называют древнегреческого математика Пифагора.

Пифагор, прежде всего — это мудрец и философ. Точной даты рождения Пифагора не знает никто, но исторические исследователи датируют это событие приблизительно 580 годом до нашей эры.  Будущий математик и философ уже в детстве проявлял большую способность к наукам. Он с ранних лет стремится узнать, как можно больше. У опытных наставников Пифагор изучал геометрию и астрономию, музыку и живопись. Особенное внимание он уделял числам и их свойствам, стремясь познать смысл и природу вещей. 

       Философ считал таблицу умножения отображением вселенной, где угадывается за закономерностью чисел ровный строй планет и скоплений звезд, где угадывается гармония космоса и слышится божественная музыка. Таблица умножения скрывает в себе много замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее немало сюрпризов. Что представляет собой таблица Пифагора?   По горизонтали и по вертикали расположены числа натурального ряда; на пересечении столбцов и строк стоят их произведения. Диагональ таблицы образуют квадраты чисел. Данную таблицу мы все видели и пользовались ей почти на каждом уроке математики, так как она напечатана на обложке простой тетради в клетку. (Слайд 5).  

  Разные способы запоминания таблицы умножения. 

Посмотрев внимательно на таблицу, можно найти закономерности в ней.

Вот некоторые из них:

  1. При умножении на 1 любое число остаётся тем же.
  2. Все примеры на 5 оканчиваются на 5 или 0: если число чётное, приписываем 0 к половине числа, если нечётное — 5.
  3. Все примеры на 10 оканчиваются на 0, а начинаются с числа, на которое мы умножаем.
  4. Примеры на 5 вполовину меньше, чем примеры на 10 (10 × 5 = 50, а 5 × 5 = 25).
  5. Чтобы умножать на 4, можно просто дважды удваивать число. Например, чтобы умножить 6 × 4, нужно удвоить 6 два раза: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
  6. Чтобы запомнить умножение на 9, запишите ряд ответов в столбик: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Запомнить нужно первое и последнее число. Все остальные можно воспроизвести по правилу: первая цифра в двузначном числе увеличивается на 1, а вторая уменьшается на 1.

При изучении таблицы умножения необходимо учитывать свойство коммутативности.  Это, то самое, известное правило: от перестановки множителей произведение не меняется.

Ребёнку станет понятно, что на деле ему нужно выучить не всю, а только половину таблицы, и некоторые примеры он уже знает. Например, 4 × 7 — то же самое, что 7 × 4.

В интернете я искал разные способы умножения и наткнулся на игры, которые помогают повторить и запомнить таблицу умножения. Для младших школьников это могут быть различные раскраски, которые есть не только в электронном виде, но и лежат на прилавках многих магазинов, различные игры с наклейками. Для старших школьников можно использовать китайский способ умножения, где необходимо рисовать количество линий и находить их точки пересечения, итальянский, который был распространен в Италии и странах Востока и т.д (Слайд 6, 7)

           

 

 Умножение на 9 с помощью пальцев

Я   был удивлен изобретательностью этого способа умножения. Всё очень просто и интересно. Совсем не нужно запоминать таблицу умножения на девять! И калькулятор не потребуется – нам помогут пальцы рук. Посмотрим на раскрытые ладони. Перед нами десять пальцев. Теперь загибаем первый палец слева. Осталось девять пальцев. Мы умножили девять на один. Теперь попробуем умножить на 2: раскрываем ладони и загибаем второй палец слева. С одной стороны от загнутого пальца остался один палец, а с другой – восемь. Один, восемь – получилось 18! Умножим 9 на 7? Загибаем седьмой по счету палец. Слева остается шесть, а справа три – 63! (показать на руках!!!)

      Умножение на 9 с помощью тетрадных клеток 

Возьмём, к примеру, 10 клеточек в тетради.  Нужно 9 умножить на 8. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит, 9·8=72.  Все очень просто!!! (Слайд 8)

      Рассмотрите теперь саму таблицу умножения числа 9 

 Какую закономерность можно увидеть?  Сумма чисел во всех произведениях равна 9!  А теперь давайте разберемся, как узнать само произведение. Из второго множителя вычитаем 1 и получаем количество десятков в ответе. Чтобы узнать количество единиц, надо из 9 вычесть количество десятков. Надо попробовать несколько раз  показать этот способ ребенку, чтобы он  смог им пользоваться. (Слайд 9)

 Можно еще и еще записывать различные способы умножения на 9, но думаю, что этого будет достаточно, так как любой ученик, освоивший один из данных способов, уже никогда не допустит ошибку при умножении на 9. 

Таблицу умножения выучили, теперь попробуем научиться складывать и вычитать обыкновенные дроби. Суть данного метода заключается в том, что мы должны перемножить числитель первой дроби со знаменателем второй, и знаменатель первой с числителем второй. Полученные произведения сложить или вычесть, все зависит от знака арифметического действия, полученный результат записать в числитель, а знаменателем будет произведение знаменателей обеих дробей. Попробуйте, и у вас обязательно получится!!!  (Слайд 10)

Применяя эти знания, можно смело говорить о том, что первое задание у тебя «в кармане».

 

  •  Возведение двузначных чисел в квадрат (Слайд 11)

Здесь все очень просто: нужны формулы сокращенного умножения

 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, 

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2   и сама таблица умножения и все!!!

Например, 372 = (30+7)2 = 302 + 2*30*7 + 72 = 900+420+49 = 1 369

      942 = (90+4)2 = 902 + 2*90*4 + 42 = 8100+720+16 = 8 836

Квадрат чисел, заканчивающихся на 5 (Слайд 12)

Как возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. 

Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.

152 = (1*(1+1)) 25 = 225

252 = (2*(2+1)) 25 = 625

852 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

1552 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

  • Решение квадратного уравнения по его коэффициентам (Слайд 13)

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а не равно 0.

Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

             то х1 = 1, х2 = с/а.

Если, а + с = b 

             то х1 = — 1, х2 = — с/а.

х2+1357х+1356=0.

Так как 1-1357+1356=0, то х1=-1, х2=-1356.

Существуют еще различные способы отыскания корней в квадратном уравнении, но, я думаю, что этого будет достаточно, чтобы выполнить задание 6. Также не стоит забывать и про теорему Виета.

  1. Признаки делимости чисел (Слайд 14)

на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. В 11-ом классе задание на применение этих свойств имеется и в профильной и базовой математике.  Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

В школе изучаются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, а остальные рассматриваются либо на внеурочном занятии, либо при углубленном изучении предмета.  Иногда на экзамене пытаются делить числа, которые нацело не делятся, тратят на это кучу времени и нервов, зная о том, что конечным ответом должно быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь, и в итоге, нет ни времени, ни ответа.

Остановлюсь подробнее на этом. 

На 2: Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8) 

На 3: Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3.
На 4: Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.
На 5: Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5.
На 6: Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3.
На 8: Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8.
На 9: Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9.
На 10: Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0.
На 11: Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11.
На 25: Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75

 

  1. Решение текстовых задач.  

При выполнении 22-го задания из второй части ОГЭ по математике и 11-го  задания в ЕГЭ по профильной математике можно встретить следующие типы задач: задачи на проценты, задачи на смеси и сплавы, задачи  на движение по прямой и по окружности, задачи движение по воде, а также задачи на совместную работу. 

При решении задач на смеси и сплавы можно выделить два типа задач: когда что-то с чем-то смешали; и когда что-то с чем-то смешали, а потом еще чего-то добавили или произвели замену на что-то. 

При решении задач так называемого первого типа удобнее всего использовать метод Пирсона (метод креста или метод конверта), при решении задач второго типа легко применять «метод стаканов или пробирок». Решение задач становится наглядным и более понятным.  Преимущества метода Пирсона в том, что он доступен ученикам, которые не умеют писать уравнения, и полезен для домохозяек при расчете нужной концентрации уксуса или сиропа. (Слайд 15). «Метод стаканов или пробирок» наглядно продемонстрирован на слайде. (Слайд 16)

При решении задач на движение всегда необходимо обозначать за неизвестную величину СКОРОСТЬ, и все данные помещать в таблицу, тогда задача решается всегда!!! А корни легко находить методом подбора, что также сокращает время при выполнении заданий. Табличный метод удобен и прост!!!  (Слайд 17) Задачи на совместную работу решают аналогично, только за неизвестную величину выбирают производительность p (как скорость), а объем всей работы A подразумевают под расстоянием.  (А=pt, S=vt) 

  1. Работа с формулами. 

Здесь всегда нужно помнить простые математические законы, которым нас учат еще в начальной школе. Задача становится проста, когда в формулу подставить все известные величины. После подстановки получается простое уравнение, а далее – знания начальной школы!!!  (Слайд 18)

Предлагаю перейти к геометрии, так как, не набрав минимальный балл по геометрии, экзамен будет провален. Поэтому рассмотрим следующие приемы:

  • Прямоугольный треугольник: теорема ПИФАГОРА. 

             Пифагоровы тройки. (Слайд 19)

Хорошо, конечно, знать теорему Пифагора наизусть и уметь применять ее без ошибок, а можно запомнить очень хорошее и интересное свойство, которыми обладают Пифагоровы тройки. Это три числа, для которых выполняется теорема Пифагора. 

Пифагоровы числа обладают рядом свойств (на основании ЕГИПЕТСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА со сторонами 3, 4 и 5):

  • Один из катетов должен быть кратным трем
  • Другой из катетов должен быть кратным четырем
  • Одно из Пифагоровых чисел (гипотенуза) должно быть кратно 5.

Зная и применяя эти свойства, при выполнении заданий даже не понадобиться прибегать к счету, просто записываем ответ.

  • Вычисление площадей многоугольников.  (Слайд 20)

Самым сложным в изучении геометрии является то, что необходимо выучить наизусть все теоретические понятия и формулы. Как же быть, если необходимо вычислить площадь какой-либо фигуры, а формул нет ни в справочном материале, ни в голове? Здесь на помощь поспешит формула Пика (теорема Пика), с помощью которой можно посчитать площадь любой геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге или квадратной решетке. Все очень просто: считаем узлы и делаем вывод на основании теоремы Пика.  

Освоив данный алгоритм, задача на вычисление площади геометрической фигуры будет без труда решена.

  1. Формулы приведения (все очень просто и легко) !!!  (Слайд 21, 22)

В 9 классе мы познакомились с формулами приведения, с единичной полуокружностью. Узнали, как они работают и для чего они нужны. На уроке учительница рассказала нам о том, что при изучении тригонометрии в 10-11 классах мы будем ими пользоваться очень часто, и поделилась «секретом» о том, что ученики пытаются их учить наизусть, а это очень сложно. Предложила нам найти в интернете информацию о том, как легко и просто их выучить. Я нашел способ, который позволяет вычислять значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. Данный способ подробно представлен на слайде. Первое, что нужно сделать – это запомнить, что в тригонометрическом круге ось синусов – это вертикальная ось, которая имеет «рабочие углы» («смотрим вверх, в синее небо», ось косинусов – горизонтальная ось, которая имеет «спящие углы» – «косим косой влево/вправо»). В 9 классе на ОГЭ по математике нам не пригодится эта информация, но в 11 классе данные задачи содержатся в КИМ, поэтому целесообразно начинать изучать данную тему сразу.  

        Второй этап моей работы  – основной: создание справочника-подсказки  для успешной подготовки к экзамену, познакомить своих одноклассников на уроках математики с найденными мной необычными математическими методами и приемами. Научить и помочь одноклассникам применять эти способы на уроке и дома. (применение программного обеспечения для создания печатного издания Microsoft  Office Publisher 2013)

        Третий этап – заключительный: после того, как я познакомил ребят с необычными методами и приемами, мы в классе совместно с учителем провели пробную диагностическую работу по математике, результаты которой дали свои плоды. Большинство ребят, которые раньше не могли набрать минимальное количество баллов для успешной сдачи, смогли перейти эту границу. Работать, конечно, есть над чем, и я готов!!! Готов помогать учителю на уроках во время выполнения групповых заданий, на факультативных занятиях, быть наставником для слабоуспевающих ребят, только лишь бы все мои одноклассники успешно сдали экзамен по математике.  Так как я сам очень люблю математику и готов делиться своими знаниями со всеми, кому это необходимо. Мы провели в классе анкетирование и сделали выводы о своей работе.

 В моем классе 20 человек, я в опросе не участвовал. Ниже представлены результаты анкетирования. (Слайд 23)

 

  • Необходимо ли современному человеку уметь считать? 

           «Да»  – 19 чел,   «Нет» – 0 чел

  •   Предложенные мною способы помогли вам в учебе? 

«Да» – 18 чел,        « Нет!» – 1 чел  

  •   Пользуетесь ли вы ими при решении задач на уроках и дома?

          «Да» –  19 чел,   « Нет» – 0 чел                    

  •   Хотели бы вы узнать новые способы?

         «Да»  — 19 чел,        «Нет» – 0 чел

  • Понравился ли вам справочник – подсказка?

«Да» — 19  чел,     «Нет» — 0 чел.  

Заключение:

Результаты моей работы показали:

  • все дети хотят уметь считать, проводить различные вычисления
  •  новые способы были для ребят интересны и полезны
  • больше всего понравились способы: умножение на пальцах, умножение на 9 с помощью тетрадных клеток, решение квадратных уравнений по его коэффициентам, теорема Пика и формулы приведения.  

Продуктом моей работы является пособие в виде справочника-подсказки для успешной подготовки к экзамену по математике, который я демонстрировал в школе, мы его распечатали и используем на уроках и во время занятий подготовки к экзамену.

Поработав с литературой и материалами в Интернете, я понял, что мной рассмотрены далеко не все способы, а это значит, что впереди меня ждет много интересного и увлекательного. Свою работу я планирую продолжать на протяжении обучения в 10-11 классе, отыскивать новую интересную информацию и делиться ее со всеми желающими.

 

Список использованной литературы: